Función Exponencial.

Definición.  Sea  un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia  se llama función exponencial de base a y exponente x.  Como  para todo ,la función exponencial es una función de  en .  En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial.      2.1.1  Teorema (Leyes de los Exponentes)  Sean a y b reales positivos y x,yΠ ,entonces:  1.   2.   3.   4.   5.  .  6 .  Cuando a > 1 ,si x < y, entonces,  .Es decir, cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial  de base a es estrictamente creciente en su dominio.  Cuando 0 < a < 1, si x < y , entonces,  .  Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en  su dominio.   .  10.Si 0< a < b ,se tiene:    .  Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases.  11. Cualquiera que sea el número real positivo ,existe un único número real tal que   . Esta propiedad indica que la función exponencial es sobreyectiva.  Cuando x e y son enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse usando las definiciones y el teorema 1. Para el caso en el cual x e y son racionales, la demostración utiliza la definición y el teorema 2. Para el caso general, es decir, cuando x e yson reales, la demostración utiliza elementos del análisis real.    2.1.2 Gráfica de la Función Exponencial   En relación con las propiedades 7 y 8, enunciadas en el teorema, es conveniente hacer algunos comentarios adicionales.  En primer lugar, en las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base a > 1 (fig. 1) y de base a < 1 (fig. 2). Note que cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial  (fig.1) no está acotada superiormente. Es decir ,  crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremo inferior. Esto es ,  tiende a cero(0), cuando x toma valores grandes pero negativos.  Igualmente, cuando la base a < 1, la función exponencial (fig.2) no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así,  crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y  tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos.  El hecho de ser la función exponencial con a > 1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio.Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa ( función logarítmica), que se presentan en la próxima sección.  En relación con la propiedad 9, en un sentido, se deduce fácilmente de la definición de función; y, en otro, del hecho de ser la función exponencial inyectiva.  Observación.  Cuando a = e ,donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, es e = 2.7182818284….,la función exponencial  ,se llama: función exponencial de base e y, frecuentemente, se denota por Exp( x ) =  .